第一章  序列封闭形和式

  第一节  利用收缩公式计算代数式封闭形和式

  第二节  Lucas序列封闭形和式

  第三节  正负相间Lucas序列封闭形和式

  第四节  含有三角函数的Chebyshev多项式封闭形和式

  第五节  双曲函数与三角函数积的和的封闭形和式

  第六节  一类分式序列和与级数封形和式

  第七节  一类正负相间分式序列封闭形和式

  第八节  关于单位分数问题

  第九节  关于一类反正切丢番图方程

第二章  三角函数封闭形和式

  第一节  对偶三角函数级数(1)

  第二节  对偶三角函数级数(2)

  第三节  奇数次幂三角函数级数的计算

  第四节  高次幂的三角函数级数

  第五节  组合数的倒数的级数与对偶三角函数级数

第三章  计算证明组合恒等式

  第一节  由简单代数式导出组合封闭形和式

  第二节  利用白塔伽马函数计算组合数倒数序列有限和

  第三节  Melzak公式应用

  第四节  哈代恒等式(Hardy)

  第五节  超几何级数证明组合恒等式

  第六节  由二阶矩阵推导组合恒等式

  第七节  由Lucas序列推导组合恒等式

  第八节  一类组合数和式计算（1）

  第九节  一类组合数级数和式（2）

  第十节  组合数多重分割求和公式

第四章  中心型二项式系数级数

  第一节  裂项法导出中心型二项式系数倒数级数

  第二节  裂项法导出中心型二项式系数倒数级数（2）

  第三节  正负相间中心型二项式系数倒数级数（1）

  第四节  正负相间中心型二项式系数倒数级数(2)

第五章  非中心型二项式系数级数

  第一节  非中心型二项式系数级数

  第二节  一类幂级数的和函数

  第三节  非中心型二项式系数倒数级数

  第四节  非中心型二项式系数倒数级数(2)

第一章  序列封闭形和式

本章第1节利用收缩公式讨论各种形式序列和式计算。第2,3节利用发生函数方法与复变函数方法得到含有三角函数的Lucas数与正负相间Lucas数封闭形和式明显表达式。第4，5节利用发生函数方法得到一类含有等比数列的Chebyshev多项式封闭形和式，双曲函数与三角函数积的和式，给出双曲函数与三角函数积的和式封闭形计算公式。第6，7节利用和角与差角反正切公式选取适当函数F（n）利用收缩公式得出反正切封闭形和式，利用微分法给出分式的有限和封闭形和式，再用极限法得到分式无限和式。第8节讨论单位分数问题，给出正整数1能分拆成任意个单位分数之和的几种方法。第9节研究了一类反正切丢番图方程整数解问题。

第一节利用收缩公式计算代数式封闭形和式

如何将序列通项分拆成连续函数和或差,有如下收缩公式：

收缩公式1设uk=f（k）-f（k+1），则∑nk=auk=f（a）-f（n+1），na；

收缩公式2设uk=f（k）+f（k+1），

则∑nk=a（-1）kuk=（-1）af（a）-（-1）n+1f（n+1），na；

一直接裂项法

(1)∑n-1k=ark（1+rkx）（1+rk+1x）=1x（r-1）（11+rax-11+rnx）

从通项表达式如何求得收缩公式uk是得到结果的关键。可用分式化成部分分式的方法。

设rk（1+rkx）（1+rk+1x）=A1+rkx+B1+rk+1x=（A+B）+（Ark+1x+Brkx）（1+rkx）（1+rk+1x）,两端同次幂系数相等,A+B=0,（Ar+B）xrk=rk，A+B=0，（Ar+B）x=1；A=1x（r-1），B=-1x（r-1）;于是,得到uk=1x（r-1）（11+rkx-11+rk+1x）。

(2)∑n-1k=1rk-1（1-rk）（1-rk+1）=1r（1-r）（11-r-11-rn）

可得到收缩公式uk=1r(1-r)(11-rk-11-rk+1)。

(3)∑n-1k=a1（r+kx）［r+（k+1）x］=1x（1r+ax-1r+nx）

可得到收缩公式uk=1x（1r+kx-1r+（k+1）x）。

(4)∑nk=11（r+kx）（r+（k+1）x）=n（r+x）（r+（n+1）x）

可得到收缩公式uk=1x［1r+kx-1r+（k+1）x］。

(5)∑nk=11（k+a）（k+a+1）=n（a+1）（n+a+1）

1（k+a）（k+a+1）=Ak+a+Bk+a+1,得到A=1，B=-1,从而

∑nk=11（k+a）（k+a+1）=∑nk=1（1k+a-1k+a+1）

=11+a-1n+a+1=n（a+1）（n+a+1）。

同法可得

(6)∑nk=11k（k+1）=1-1n+1；

(7)∑nk=11k（k+1）（k+2）=12［12-1（n+1）（n+2）］；

(8)∑nk=11k（k+1）（k+2）（k+3）=13（16-1（n+1）（n+2）（n+3））。

(9)求下列级数和式1)∑∞n=12n+1n2（n+1）2；2)∑∞n=1n（2n-1）2（2n+1）2；

3)∑∞n=1n-n2-1n（n+1）；4)∑∞n=114n2-1；5)∑∞n=11(n+n+1)（n（n+1））。

解这类问题根据表达式特点，对通项进行裂项

1)∑∞n=12n+1n2（n+1）2=∑∞n=1（n+1）2-nnn2（n+1）2=∑∞n=11n2-1（n+1）2=1。

2)∑∞n=1n（2n-1）2（2n+1）2=∑∞n=1（2n+1）2-（2n-1）28（2n-1）2（2n+1）2

=18∑∞n=11（2n-1）2-1（2n+1）2=18。

3)∑∞n=1n-n2-1n（n+1）=∑∞n=1（n+1）（n-1）n（n+1）=∑∞n=1nn+1-n-1n=1。

4)∑∞n=114n2-1=∑∞n=11（2n-1）（2n+1）=12∑∞n=11（2n-1）-1（2n+1）=12。

5)∑∞n=11（n+n+1）（n（n+1））=∑∞n=1n+1-n（n+1-n）（n（n+1））

=∑∞n=1n+1-nn（n+1）=∑∞n=11n-1n+1=1。

(10)求下列级数和式1)∑∞n=11n（n+1）（n+2）·…·（n+m）

2)∑∞n=1an（a1+1）（a2+1）·…·（an+1）

解1)分子分母乘以m，∑∞n=11n（n+1）（n+2）·…·（n+m）=

∑∞n=1mmn（n+1）（n+2）·…·（n+m）=∑∞n=1（n+m）-nmn（n+1）（n+2）·…·（n+m）=

∑∞n=11m［1n（n+1）（n+2）·…·（n+m-1）-1（n+1）（n+2）·…·（n+m）］

=1m·n！；

2）分子加1减1.∑∞n=1an（a1+1）（a2+1）·…·（an+1）=

∑∞n=1（an+1）-1（a1+1）（a2+1）·…·（an+1）=∑∞n=11（a1+1）（a2+1）·…·（an-1+1）-1（a1+1）（a2+1）·…·（an+1）=（1-1a1+1）+（1a1+1-1（a1+1）（a2+1））+…+（1（a1+1）（a2+1）·…·（an-1+1）-1（a1+1）（a2+1）·…·（an+1））

所以∑∞n=1an（a1+1）（a2+1）·…·（an+1）

=1-1（a1+1）（a2+1）·…·（an+1）

(11)证明

∑∞n=1a1a2…ak-1（x+a1）（x+a2）…（x+ak）=1x-a1a2…anx（x+a1）（x+a2）…（x+an）

注意到右端为A0-An，通项应为某两项之差即Ak-1-Ak，

我们找到a1a2…ak-1（x+a1）（x+a2）…（x+ak）=a1a2…ak-1x（x+a1）（x+a2）…（x+ak-1）-a1a2…akx（x+a1）（x+a2）…（x+ak）=Ak-1-Ak，于是

∑nk=1a1a2…ak-1（x+a1）（x+a2）…（x+ak）=∑nk=1（Ak-1-Ak）=A0-An=

1x-a1a2…anx（x+a1）（x+a2）…（x+an）

令x=n2，ak=-k2，

∑n-1k=1（-1）k-1［（k-1）！］2（n2-1）（n2-2）…（n2-k2）=1n2-（-1）n-1［（n-1）！］2n2（n2-1）…［n2-（n-1）2］

=1n2-（-1）n-1［（n-1）！］2n2（n-1）（n+1）（n-2）（n+2）…（2n-2）（2）（2n-1）（1）

=1n2-（-1）n-1［（n-1）！］2n2（n-1）（n+1）（n-2）（n+2）…（2n-2）（2）（2n-1）（1）

=1n2-n·2n（-1）n-1［（n-1）！］2n2·n（n-1）（n+1）（n-2）（n+2）…（2n-2）（2）（2n-1）2n（1）

=1n2-2（-1）n-1［n！］2n2（2n）！=1n2-2(-1)n-1n2(2nn)。