作者单位：大同大学
出版时间：2016年5月第1版第1次
本书概述：有限群研究的根本问题是确定有限群的结构。因为子群的正规性与有限群的结构有着非常紧密的联系,所以希望利用正规子群的性质来决定有限群的结构。非平凡正规子群个数对有限群的结构也有很大的影响。例如:著名的有限
作者姓名： 曹建基
出版社： 经济日报出版社
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图书定价：23
内容简介
有限群研究的根本问题是确定有限群的结构。因为子群的正规性与有限群的结构有着非常紧密的联系,所以希望利用正规子群的性质来决定有限群的结构。非平凡正规子群个数对有限群的结构也有很大的影响。例如:著名的有限单群分类就研究了没有非平凡正规子群的有限群。这一定理是数百位数学家经过数十年努力完成的。另外，早在1897年, R.Dedekind就决定了所有子群都正规的有限群,这样的群被称为Dedekind群。本人一直以来都在研究非平凡正规子群个数对有限群结构的影响，在对这一类问题进行详细、系统的阐述后，得到的一些研究成果，整理成此专著，希望对读者有所帮助。
作者简介
曹建基 男，山西大同大学教师，2014年7月获理学博士学位。主要从事代数方向课程的教学和有限群论方向的科研工作。参与多项国家自然科学基金，目前已在国内外各类杂志上发表论文多篇。
第一章NNU-群
§1.1基本结果
§1.2NNU-群的结构
第二章NCUP-群
§2.1预备知识
§2.2初步结果
§2.3超特殊NCUP-群
§2.4NCUP-群的进一步结果和群例
§2.5内NCUP-群
第三章可解NNT-群
§3.1预备知识
§3.2可解NNT-群的主要结果
第四章可解NCM-群
§4.1预备知识
§4.2可解NCM-群的分类
第五章非可解NCM-群
§5.1定义及引理
§5.2半单NCM-群
§5.3非半单NCM-群
参考文献
第一章
NNU-群
§1.1基本结果
利用正规子群刻画有限群的结构是有限群论中常用的方法.特别地,非平凡正规子群的个数对有限群有很大的影响.如果有限群G没有非平凡正规子群,则G为单群,通过数百位数学家数十年努力完成了有限单群的分类.受上面结果的启发,本章对非平凡正规子群唯一的有限群做了研究,得到了这类群的结构.为了后面讨论的方便,我们称非平凡正规子群唯一的有限群为NNU-群.这一章内容主要出自于文献［64］.本节先介绍一下本章中用到的一些预备知识.
定义1.1.1设G为有限非交换群.如果G的所有真子群和真商群都交换,则称G为极小非交换群.如果有限非幂零群G的所有真子群都幂零,则称G为内幂零群.
定义1.1.2设G为有限群,T为有限非交换单群,如果T≤G≤Aut(T),则称G为几乎单群.
定义1.1.3如果群G满足G′=G,则称G为完备群(PerfectGroup).
定义1.1.4设G为有限完备群,如果H满足H/Z(H)G,则称H为G的中心扩张.如果H亦为完备群,则称H为G的覆盖(CoveringGroup).
引理1.1.1(［71,定理1］)设G为单群,|G| = |M|,M为一已知单群,则下述结论成立:
(1) 若|M| = |A8| = |L3(4)|,则GA8或L3(4);
(2) 若|M| = |Bn(q)| = |Cn(q)|,n≥ 3,q为奇数,则GBn(q)或Cn(q);
(3) 若|M|不为上述情形(1),(2)则GM.
引理1.1.2(［35,定理3.5.2］)设G是内幂零群,则|G|=paqb,p≠q均为素数,且适当选取符号便有G的Sylowp-子群P—G,而Sylowq-子群Q循环,QG,并有Φ(Q)≤Z(G).
引理1.1.3设G=T1×…×Ts,其中T1,… ,Ts为同构的有限非交换单群,则G的任意非单位正规子群K均有形状Ti1 ×…×Tit.(1 ≤i1 ≤…≤it≤s)
证明:设g=g1g2…gs ∈K,其中g1∈T1,g2∈T2,…,gs∈Ts,并且对某个j来说有gj≠1.则g在G中的正规闭包gG必包含Tj中的的某一非单位元素.这是因为对任.意的x∈Tj,gG包含元素
g-1gx=(g1g2…gs)-1(g1g2…gs)x=g-1jgxj=［gj,x］
……
